FGV-2004

O números inteiros x e y satisfazem a equação [tex]2^{x+3} + 2^{x+1} = 5^{y+3} + 3.5^{y}[/tex]. Então x-y é:

a)8   b)5   c)9   d)6   e)7

[tex] 2^{x+1}\left ( 2^{2} + 1 \right ) = 5^{y} \left ( 5^{3} + 3.1 \right ) \Rightarrow [/tex]     [tex] 2^{x+1}\left ( 4 + 1 \right ) = 5^{y}\left ( 125 + 3 \right ) \Rightarrow [/tex]     [tex] 2^{x+1}\left ( 5 \right ) = 5^{y}\left ( 128 \right ) \Rightarrow [/tex]

[tex] 2^{x+1} .5 = 5^{y}.2^{7} \Rightarrow [/tex]      [tex] \frac{2^{x+1}}{2^{7}} = \frac{5^y}{5} \Rightarrow [/tex]     [tex] 2^{x-6} = 5^{y-1} [/tex]


Para que [tex]2^{x-6}[/tex] seja igual a [tex]5^{y-1}[/tex], a única possibilidade é [tex]2^{x-6} = 1[/tex] e [tex]5^{y-1} = 1[/tex]. Então:

[tex] x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6[/tex]
[tex] x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1[/tex]

Concluindo: [tex]x - y = 6 - 1 = 5[/tex]